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【電磁気学】マクスウェルの方程式のメモ

サブネミミッミに頼まれて...

この間、飼い犬のサブネミミッミに

サブネミミッミ1

「マクスウェルの方程式を4つすべて書いて欲しいなぁ。」
と頼まれて、モタモタしていたら、

サブネミミッミ2

「早く書けっつってんだろ!」と怒鳴られたので、マクスウェルの方程式をスラスラ書けるようにメモとして残しておこうと思う。

積分形のマクスウェルの方程式

積分形で表される4つの方程式は次のようになる。
なお、以降登場する式は真空中で成り立つものとする。

(1)SEndS=1ε0qenc \oint_{S} \vec{E} \cdot \vec{n} , dS = \frac{1}{\varepsilon_0} q_{enc} \tag{1}

(2)SBndS=0 \oint_{S} \vec{B} \cdot \vec{n} , dS = 0 \tag{2}

(3)CEtds=tΦB \oint_{C} \vec{E} \cdot \vec{t} , ds = - \frac{\partial}{\partial t} \Phi_B \tag{3}

(4)CBtds=μ0Ienc+μ0ε0tΦE \oint_{C} \vec{B} \cdot \vec{t} , ds = \mu_0 I_{enc} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \Phi_E \tag{4}

電場のガウスの法則 (積分形)

(1)SEndS=1ε0qenc \oint_{S} \vec{E} \cdot \vec{n} , dS = \frac{1}{\varepsilon_0} q_{enc} \tag{1}

この式(1)は「閉曲面SSを垂直に貫く電気力線の総数は、その閉曲面に囲まれる電荷の総量に比例する」ということを表している。

ガウス面

磁場のガウスの法則 (積分形)

(2)SBndS=0 \oint_{S} \vec{B} \cdot \vec{n} , dS = 0 \tag{2}

この式(2)は「閉曲面SSには 磁荷 が存在しないため、その閉曲面を貫く正味の磁束はゼロ」ということを表している。

ファラデーの電磁誘導の法則 (積分形)

(3)CEtds=tΦB \oint_{C} \vec{E} \cdot \vec{t} , ds = - \frac{\partial}{\partial t} \Phi_B \tag{3}

この式で、左辺は誘導電場 E\vec{E} を、磁場が貫いている閉曲線 CC に沿って線積分したもので、特にコイルに棒磁石を近づけるような実験をで使うような回路上では、この積分は誘導起電力 E\mathscr{E}

E=CEtds \mathscr{E} = \oint_{C} \vec{E} \cdot \vec{t} , ds

となる。

右辺は磁束 (磁場のフラックス) ΦB\Phi_B の時間変化 (時間で偏微分) にマイナスを付けたものである。
磁束の式は、

ΦB=SBndS \Phi_B = \int_{S} \vec{B} \cdot \vec{n} , dS

というように、磁場が貫いている閉曲線 CC を縁とするような面積 SS と磁束密度の積分で表される。

この式(3)は「磁束の時間変化を妨げる向きに誘導起電力が生じる」ということを表している。

電磁誘導

アンペール-マクスウェルの法則 (積分形)

(4)CBtds=μ0Ienc+μ0ε0tΦE \oint_{C} \vec{B} \cdot \vec{t} , ds = \mu_0 I_{enc} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \Phi_E \tag{4}

この式はアンペールの法則に変位電流 idi_d を加えたものである。
アンペールの法則は「閉曲線 (アンペール・ループ) に沿って磁場の大きさを足し合わせたものは、閉曲線が囲む電流の総和に比例する」ということを意味する。

変位電流の式は、

id=ε0tΦE=ε0tSEndS i_d = \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \Phi_E = \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \int_{S} \vec{E} \cdot \vec{n} , dS

というように、閉曲線 (アンペール・ループ) CC を縁とする曲面 SS による電場束を時間で偏微分したものである。
変位電流は仮想的な電流で、キャパシタの極板間などの電気的につながっていない部分で、まるで実電流のそれのような電場の分布をつくる。

ベクトル解析の公式

ここで、微分形の方程式を導出するのに必要なベクトル解析の公式をおさらいする。

ガウスの発散定理

閉曲面 SS で囲まれた立体 VV がある。
SS の単位法線ベクトル n\vec{n}SS の外側を向くものとするとき、VV を含むある範囲で定義されたベクトル場 a\vec{a} に対して、次の等式が成り立つ。

VadV=SandS \int_{V} \nabla \cdot \vec{a} , dV = \oint_{S} \vec{a} \cdot \vec{n} , dS

発散定理

ストークスの定理

曲面 SS と 単純閉曲線 CCSS の単位法線ベクトル n\vec{n} の向きを図のように定めたとき、SS を含むある範囲で定義されたベクトル場 a\vec{a} に対して、次の等式が成り立つ。

S(×a)ndS=Catds \int_{S} (\nabla \times \vec{a}) \cdot \vec{n} , dS = \oint_{C} \vec{a} \cdot \vec{t} , ds

ストークスの定理

微分形のマクスウェルの方程式

微分形で表される4つの方程式は次のようになる。

(5)E=1ε0ρ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho \tag{5}

(6)B=0 \nabla \cdot \vec{B} = 0 \tag{6}

(7)×E+tB=0 \nabla \times \vec{E} + \frac{\partial}{\partial t} \vec{B} = \vec{0} \tag{7}

(8)×Bμ0ε0tE=μ0J \nabla \times \vec{B} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \vec{E} = \mu_0 \vec{J} \tag{8}

また、電束密度 D\vec{D} と磁場の大きさ H\vec{H}

D=ε0E,H=1μ0B \vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E}, , \vec{H} = \frac{1}{\mu_0} \vec{B}

を用いて表すと、

D=ρ \nabla \cdot \vec{D} = \rho

B=0 \nabla \cdot \vec{B} = 0

×E+tB=0 \nabla \times \vec{E} + \frac{\partial}{\partial t} \vec{B} = \vec{0}

×HtD=J \nabla \times \vec{H} - \frac{\partial}{\partial t} \vec{D} = \vec{J}

という形になる。
ちなみに私は ε0\varepsilon_0μ0\mu_0 が、左辺と右辺のどちらに付くのかがよくわからなくなるため、「アンペール-マクスウェルの法則の微分形がきれいになるように電場と磁場をおいたもの」という覚え方をしている。

電場のガウスの法則 (微分形)

(5)E=1ε0ρ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho \tag{5}

式(1)より qencq_{enc} は体積電荷密度 ρ\rho を体積積分したものであるから、

SEndS=1ε0qencSEndS=V{1ε0ρ}dV \begin{aligned} \oint_{S} \vec{E} \cdot \vec{n} , dS &= \frac{1}{\varepsilon_0} q_{enc} \ \oint_{S} \vec{E} \cdot \vec{n} , dS &= \int_{V} \left{ \frac{1}{\varepsilon_0} \rho \right} dV \ \end{aligned}

ここで、ガウスの発散定理より、

SEndS=V{1ε0ρ}dVV{E}dV=V{1ε0ρ}dVE=1ε0ρ \begin{aligned} \oint_{S} \vec{E} \cdot \vec{n} , dS &= \int_{V} \left{ \frac{1}{\varepsilon_0} \rho \right} dV \ \int_{V} \left{ \nabla \cdot \vec{E} \right} dV &= \int_{V} \left{ \frac{1}{\varepsilon_0} \rho \right} dV \ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{1}{\varepsilon_0} \rho \ \end{aligned}

磁場のガウスの法則 (微分形)

(6)B=0 \nabla \cdot \vec{B} = 0 \tag{6}

電場のガウスの法則と同様に示される。

ファラデーの電磁誘導の法則 (微分形)

(7)×E+tB=0 \nabla \times \vec{E} + \frac{\partial}{\partial t} \vec{B} = \vec{0} \tag{7}

式(3)にストークスの定理を用いて、

CEtds=tΦBCEtds=tSBndSS{×E}ndS=S{tB}ndS×E=tB \begin{aligned} \oint_{C} \vec{E} \cdot \vec{t} , ds &= - \frac{\partial}{\partial t} \Phi_B \ \oint_{C} \vec{E} \cdot \vec{t} , ds &= - \frac{\partial}{\partial t} \int_{S} \vec{B} \cdot \vec{n} , dS \ \int_{S} \left{ \nabla \times \vec{E} \right} \cdot \vec{n} , dS &= - \int_{S} \left{ \frac{\partial}{\partial t} \vec{B} \right} \cdot \vec{n} , dS \ \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial}{\partial t} \vec{B} \ \end{aligned}

アンペール-マクスウェルの法則 (微分形)

(8)×Bμ0ε0tE=μ0J \nabla \times \vec{B} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \vec{E} = \mu_0 \vec{J} \tag{8}

式(4)より IencI_{enc} は電流密度 J\vec{J} を面積分したものであるから、

CBtds=μ0Ienc+μ0ε0tΦECBtds=μ0SJndS+μ0ε0tSEndSCBtds=S{μ0J+μ0ε0tE}ndS \begin{aligned} \oint_{C} \vec{B} \cdot \vec{t} , ds &= \mu_0 I_{enc} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \Phi_E \ \oint_{C} \vec{B} \cdot \vec{t} , ds &= \mu_0 \int_{S} \vec{J} \cdot \vec{n} , dS + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \int_{S} \vec{E} \cdot \vec{n} , dS \ \oint_{C} \vec{B} \cdot \vec{t} , ds &= \int_{S} \left{ \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \vec{E} \right} \cdot \vec{n} , dS \ \end{aligned}

ここで、ストークスの定理より、

CBtds=S{μ0J+μ0ε0tE}ndSS{×B}ndS=S{μ0J+μ0ε0tE}ndS×B=μ0J+μ0ε0tE \begin{aligned} \oint_{C} \vec{B} \cdot \vec{t} , ds &= \int_{S} \left{ \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \vec{E} \right} \cdot \vec{n} , dS \ \int_{S} \left{ \nabla \times \vec{B} \right} \cdot \vec{n} , dS &= \int_{S} \left{ \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \vec{E} \right} \cdot \vec{n} , dS \ \nabla \times \vec{B} &= \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \vec{E} \ \end{aligned}

電磁波の波動方程式

マクスウェルの方程式によって 電磁波 の存在を見いだすことができる。

3次元の波動方程式は次のようになる。

(9)(2ε0μ02t2)E=0 \left( \nabla^2 - \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec{E} = \vec{0} \tag{9}

(10)(2ε0μ02t2)B=0 \left( \nabla^2 - \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec{B} = \vec{0} \tag{10}

1次元の波動方程式は次のようになる。

(11)2Ex2=1c22Et2 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \tag{11}

(12)2Bx2=1c22Bt2 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \tag{12}

ここで、光速 cc を次のようにした。

c=1ε0μ0=18.85418782×1012×4π×1072.9979245×108[m/s] c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} = \frac{1}{\sqrt{8.85418782 \times 10^{-12} \times 4 \pi \times 10^{-7}}} \simeq 2.9979245 \times 10^{8} {\rm [m/s]}

式(9)は式(7)の両辺の回転 (×\nabla \times) を取ることによって導くことができる。
なお、この方程式は電荷の存在しない自由空間上 (ρ=0,J=0\rho = 0, \vec{J} = \vec{0}) で成り立ち、ナブラ演算子のよく知られている公式

×{×a}={a}2a \nabla \times \left{ \nabla \times \vec{a} \right} = \nabla \left{ \nabla \cdot \vec{a} \right} - \nabla^2 \vec{a}

を用いる。

×E+tB=0×{×E+tB}=×0×{×E}+×tB=0{E}2E+t{×B}=002E+t{ε0μ0Et}=0E=ρ=0,×B=μ00+ε0μ0Et2E+2t2{ε0μ0E}=0(2ε0μ02t2)E=0 \begin{aligned} \nabla \times \vec{E} + \frac{\partial}{\partial t} \vec{B} &= \vec{0} \ \nabla \times \left{ \nabla \times \vec{E} + \frac{\partial}{\partial t} \vec{B} \right} &= \nabla \times \vec{0} \ \nabla \times \left{ \nabla \times \vec{E} \right} + \nabla \times \frac{\partial}{\partial t} \vec{B} &= \vec{0} \ \nabla \left{ \nabla \cdot \vec{E} \right} - \nabla^2 \vec{E} + \frac{\partial}{\partial t} \left{ \nabla \times \vec{B} \right} &= \vec{0} \ \vec{0} - \nabla^2 \vec{E} + \frac{\partial}{\partial t} \left{ \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right} &= \vec{0} \ \because , \nabla \cdot \vec{E} = \rho = \vec{0}, , \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{0} + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \ - \nabla^2 \vec{E} + \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left{ \varepsilon_0 \mu_0 \vec{E} \right} &= \vec{0} \ \left( \nabla^2 - \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec{E} &= \vec{0} \end{aligned}

これと同様に、式(10)も式(8)の両辺の回転を取ることによって導くことができる。

×Bμ0ε0tE=μ0J=0×{×Bμ0ε0tE}=×0×{×B}×{μ0ε0tE}=0{B}2Bt{μ0ε0×E}=002Bt{μ0ε0(1)Bt}=0B=0,×E=Bt2B+2t2{μ0ε0B}=0(2ε0μ02t2)B=0 \begin{aligned} \nabla \times \vec{B} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \vec{E} &= \mu_0 \vec{J} = \vec{0} \ \nabla \times \left{ \nabla \times \vec{B} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \vec{E} \right} &= \nabla \times \vec{0} \ \nabla \times \left{ \nabla \times \vec{B} \right} - \nabla \times \left{ \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \vec{E} \right} &= \vec{0} \ \nabla \left{ \nabla \cdot \vec{B} \right} - \nabla^2 \vec{B} - \frac{\partial}{\partial t} \left{ \mu_0 \varepsilon_0 \nabla \times \vec{E} \right} &= \vec{0} \ \vec{0} - \nabla^2 \vec{B} - \frac{\partial}{\partial t} \left{ \mu_0 \varepsilon_0 \cdot (-1) \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right} &= \vec{0} \ \because , \nabla \cdot \vec{B} = 0, , \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \ - \nabla^2 \vec{B} + \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left{ \mu_0 \varepsilon_0 \vec{B} \right} &= \vec{0} \ \left( \nabla^2 - \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec{B} &= \vec{0} \end{aligned}

とりあえず、この記事ではここまで。
ポインティング・ベクトルやら、エネルギーやらのお話まではサブネミミッミには問われなかったので。

作成日: 2019/03/14