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万有引力の位置エネルギーが理解できなかった件

問題

それは前期末試験の応用物理Iの試験勉強をしているときでした。
万有引力の位置エネルギーを積分で求めるという問題です。

質量MMの地球から距離rrにある質量mmの物体に働く万有引力の位置エネルギーV(r)V(r)を求めよ。
ただし、万有引力定数をGGとし、位置エネルギーは無限遠を基準とする。

図にするとこんな感じです。

万有引力の位置エネルギー

これがなかなか理解できずに困っていました。

理解できなかったところ

これ、答えは、

V(r)=GMmr2 V(r) = - G \frac{Mm}{r^2}

になるんですよね。
で、私が分からなかったのは、なぜマイナスが付くのかということです。
これは間違いなのですが、

V(r)=rGMmr2dr V(r) = - \int_{\infty}^{r} G\frac{Mm}{r^2} dr

で計算すると、

V(r)=rGMmr2dr=GMmr1r2dr=GMm[1r]r=GMmr \begin{aligned} V(r) &= - \int_{\infty}^{r} G\frac{Mm}{r^2} dr \ &= - GMm \int_{\infty}^{r} \frac{1}{r^2} dr \ &= - GMm \left[ - \frac{1}{r} \right]_{\infty}^{r} \ &= G \frac{Mm}{r} \end{aligned}

となり、答えと合いません。
なぜこのような式を立てたのかというと、\inftyからrrまでの積分だと、万有引力と微小変位の向きが同じなので、被積分関数は正符号になるのかなぁとよく分からずに書いたからです。

正しい解法を後述しますが、ちゃんと考えると、符号が間違っていることに気がつくと思います。

教わった解法

ヌードル に教えてもらいました。

基本的なところ

まず、基本事項として、ポテンシャルエネルギーは、

(1)V=initialfinal(F)ds V = \int_{initial}^{final} ( - \vec{F} ) \cdot d\vec{s} \tag{1}

で計算します。
initialinitialは初期位置を表し、finalfinalは最終位置を表しています。
次に、(F)(-\vec{F})は、外力を表しています。この負符号は、

(2)Wapp=W W_{app} = - W \tag{2}

から来ています。
WWは保存力のする仕事で、今回の場合は万有引力ですが、他に重力や電場だったりします。WappW_{app}は外力のする仕事を表しています。

最後に、dsd\vec{s}は、微小変位を表しています。
この微小変位と力の内積を取ったものを積分したのが式(1)です。

なぜ外力の仕事を積分するのかということですが、理解しやすいように、とりあえず、重力の位置エネルギーで考えてみます。
保存力である重力F=mgF=-mgがy軸下向きに働いているとき、その重力が働く向きと逆向き、つまりy軸正の向きに外力が働きます。
その外力が働いた距離だけ、つまり、外力が重力に逆らって質点を持ち上げた分だけ、下に落ちようとする重力に逆らったので、その分がエネルギーとして蓄えられたみたいなイメージです。 (あくまでイメージです。)

万有引力ベクトル

ヌードルに教わったのは、万有引力の大きさFFを、ベクトルF\vec{F}として考えると間違えなくなるということです。

万有引力の大きさFFは、

(3)F=GMmr2 \left| \vec{F} \right| = G \frac{Mm}{r^2} \tag{3}

です。
これをベクトルF\vec{F}で表すと、

(4)F=GMmr3r \vec{F} = - G \frac{Mm}{r^3} \vec{r} \tag{4}

となります。
これは、正規化したr\vec{r}の逆ベクトルに、式(3)で表される大きさをかけたものです。

正しい解法

式(4)を利用して問題を解いてみます。

質量MMの地球から距離rrにある質量mmの物体に働く万有引力の位置エネルギーV(r)V(r)を求めよ。
ただし、万有引力定数をGGとし、位置エネルギーは無限遠を基準とする。

まず、基準点を無限遠としているのでr=r = \inftyからr=rr = rまでの積分になります。
負符号に注意して、

V(r)=r=r=rFdr=r=r=r(GMmr3r)dr=GMmr=r=r1r3rdr=GMmr=r=r1r2drrdr,rdr=rdr=GMm[1r]r=r=r=GMmr \begin{aligned} V(r) &= - \int_{r = \infty}^{r = r} \vec{F} \cdot d\vec{r} \ &= - \int_{r = \infty}^{r = r} \left( - G \frac{Mm}{r^3} \vec{r} \right) \cdot d\vec{r} \ &= GMm \int_{r = \infty}^{r = r} \frac{1}{r^3} \vec{r} \cdot d\vec{r} \ &= GMm \int_{r = \infty}^{r = r} \frac{1}{r^2} dr , \because{\vec{r} \parallel d\vec{r}, , \vec{r} \cdot d\vec{r} = r dr} \ &= - GMm \left[ \frac{1}{r} \right]_{r = \infty}^{r = r} \ &= - G \frac{Mm}{r} \end{aligned}

というように計算できます。

まとめ

今回のまとめです。

V=initialfinal(F)ds V = \int_{initial}^{final} ( - \vec{F} ) \cdot d\vec{s}

Wapp=W W_{app} = - W

F=GMmr3r \vec{F} = - G \frac{Mm}{r^3} \vec{r}

ぜひお道具箱として頭の中に入れておきたいと思いました。まる。

作成日: 2018/11/05